GEOMETRIA PLANA

I – ÂNGULOS: é a reunião de duas semirretas de mesma origem.

Exemplo:

II – ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICES: duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 

Exemplo: Determine o x na figura abaixo:

III – BISSETRIZ – é uma semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

IV – CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS: Os ângulos podem ser classificados quanto a sua medida em agudo, reto, obtuso ou raso.

Ângulo agudo: podem ser classificados como agudo os ângulos cujas a medida for menor que 90°.

Ângulo reto: pode ser classificado como reto o ângulo cuja a medida for igual a 90°.

Ângulo obtuso: podem ser classificados como obtuso os ângulos cujas a medida for maior que 90° e menor que 180°.

Ângulo raso:  pode ser classificado como raso o ângulo cuja a medida for igual a 180°.

V – ÂNGULOS COMPLEMENTARES: se a soma de suas medidas for 90°, um deles é complemento do outro.

VI - ÂNGULOS SUPLEMENTARES: se a soma de suas medidas for 180°, um deles é suplemento do outro. 

Exemplos 1:

Qual é o ângulo que vale o dobro do seu complemento?

Logo, o ângulo procurado é 60°

Exemplo 2:

Conjunto dos Números Inteiros

Com a criação dos números naturais o homem foi capaz de inúmeros avanços no campo da matemática, como por exemplo, a representação de grandes quantidades usando os números naturais, agrupamentos, etc. Porem, com o passar dos anos, o homem percebeu que fazer contagens, e agrupamentos com os números naturais não era mais suficiente para atender as suas necessidades. 

Os números naturais eram ótimos para representar quantidades, agrupamentos, mas como representar as perca e os prejuízos? 

O desenvolvimento das civilizações e consequentemente do comércio, trouxe a necessidade de desenvolver novas formas de expressar situações comerciais, tais como: decréscimos, lucros ou prejuízos. Surgiu então um novo conjunto numéricos formado pela a união dos números positivo (naturais)  com os números negativos (oposto aos naturais).

Com a criação do novo conjunto numérico os povos da época desenvolveram operações usando números negativos e positivo capazes de representar qualquer situação comercial ou financeira que surgisse no dia a dia. Daí surgiu o conjunto dos números positivo e negativos denominado de Conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z.

O conjunto dos números inteiro pode ser representado da seguinte maneira:

                                          Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...}

Por tanto, todo numero natural é inteiro, mas nem todo número inteiro é natural.

Matematicamente, o conjunto dos números inteiros pode ser representado na reta numérica da seguinte maneira:

Pode-se observar que o conjunto dos números inteiros cresce e decresce infinitamente. Portanto, todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor; por exemplo:

·         O sucessor de -1 é 0;

·         Antecessor de -1 é -2;

Veja uma situação cotidiana em que podemos usar os números inteiros:

Juliana foi até a cidade vizinha para receber R$ 900,00 que tinha emprestado a uma amiga. Na volta bateu o carro e o mecânico cobrou R$1.200,00 no concerto. Qual foi o resultado financeiro desses acontecimentos?
Para responder a essa pergunta, podemos fazer a seguinte operação matemática:

900 - 1.200 = - 300.
O resultado dessa operação é representado por um número inteiro negativo (- 300).
Observe que na operação anterior, os números envolvidos tinham sinais diferentes e no resultado foi conservado o sinal do número de maior módulo (-). Portanto, nas operações de adição e subtração com números inteiros utilizamos algumas regras:

• Números com sinais iguais: somam-se os números e conservam-se os sinais.
  Exemplo:
  - 3 - 5 = - 8
                        +4 + 2 = +6
  
• Números com sinais diferentes: subtraem-se os números e conserva-se o sinal do número de maior módulo.
  Exemplo:
  - 3 + 5 = +2
  +6 - 7 = -1
  Por outro lado, para realizar multiplicações e divisões com números inteiros, temos que fazer o jogo de sinais:

(+) (+) = (+)

(-) (-) = (+)

(+) (-) = (-)

(-) (+) = (-)

Exemplo:

(+4) . (+2) = +8

(-4) /(-) = +2

A tabuada x o livro didático e as novas tecnologias na educação

A TABUADA X O LIVRO DIDÁTICO E AS NOVAS TECNOLOGIA NA EDUCAÇÃO

       Na atualidade, os alunos dispõem de variados ferramentas didáticas para aprender matemática. Dentre elas destacam-se os livros didáticos, as calculadoras, os computadores, os jogos didáticos, etc. Visando a melhoria na qualidade do ensino da matemática, o governo oferta a maioria desses materiais gratuitamente aos educandos.

       Antigamente, o acesso a educação e ao material didático era muito limitado. As criança que estavam em fase de alfabetização, da 1ª a 4ª série do ensino fundamental, dispunham apenas de um caderno, um lápis, um ABC para a disciplina de Língua Portuguesa e uma tabuada para a disciplina de matemática. Com a tabuada aprendiam somar, subtrair, multiplicar e dividir.  Quem não lembra o trabalho que dava decorar todas as casas da adição, da subtração, da multiplicação e da divisão? Quem não se lembra do dia da tabuada?

       Com a chegada do livro didático e da calculadora a tabuada foi sendo deixada de lado por professores e alunos. Habilidades importantes para o ensino e aprendizado de matemática foi gradativamente desaparecendo das aulas de matemática, como o velho cálculo “de cabeça”.

       A habilidade de fazer cálculo mental contribuía para a concentração do aluno durante a resolução de problemas. Se o aluno soubesse o calculo “de cabeça”, não perderia tempo contando nos dedos ou fazendo risquinhos, bolinhas, etc., podendo, em fim, focar na resolução do problema.

       O ensino da tabuada contribuía para o desenvolvimento de habilidades importantes para o ensino e aprendizado da matemática, tais como: agilidade em fazer cálculos mentais, precisão nos cálculos e foco nos problemas. Em uma sala com aproximadamente 30 alunos, dois ou três deles apresentava dificuldade para resolver problemas envolvendo as quatro operações básicas da matemática.

       Hoje, apesar do governo juntamente com os professores e comunidades escolar unirem forças para ofertar um ensino de qualidade; apesar dos livros didáticos, paradidáticos, as tecnologias dar ao aluno acesso ilimitado ao conhecimento, o que se vê nas maiorias das escolas públicas é os educando chegarem ao 9º ano do ensino fundamental com dificuldades em resolver problemas que envolvem as quatro operações elementares da matemática. As habilidades necessárias para resolver problemas, praticamente não existem. Em uma sala com aproximadamente 30 alunos dois, três tem capacidades para resolver problemas simples.

       Como chegamos a essa situação? Porque os materiais didáticos de hoje não tem sortido o efeito desejado no ensino e aprendizado de matemática? A negligencia do ensino da tabuada contribuiu para a realidade dos alunos de hoje? A calculadora é a vilã dessa história?

       Muitos tem se questionado se é adequado o uso da calculadora nas aulas de matemática. Acredito que a calculadora seja uma importante ferramenta para o ensino da matemática, porem, a sua introdução na sala de aula, deve está condicionada ao domínio das quatro operações por parte dos alunos. Primeiro, deve desenvolver as habilidades necessárias a resolução de problemas, pois há certas habilidades que a calculadora não faz, como por exemplo, compreender o problema dado. O uso da calculadora não deve anular o ensino da tabuada. Ou seja, nenhuma ferramenta é tão boa ao ponto de substituir a outra.         A tabuada continua sendo uma ferramenta importante para o ensino aprendizado da matemática tanto quanto foi no passado. Por tanto, ao invés de excluir o ensino da tabuada, os professores de matemática devem agregar essa importante ferramenta a seu arsenal didático. Os alunos de hoje precisam aprender a tabuada tanto quanto os alunos do passado.

Matemática em Sena: Os numeros perfeitos e imperfeitos

Enredo  da peça:

Paixão das santas virgens Fé, Esperança e Caridade. Foram levadas à morte pelos diversos suplícios a que as submeteu o imperador Adriano em presença da sua santa mãe, Sabedoria, que, com seus maternos conselhos, as exortou a suportar os sofrimentos.

Consumado o martírio, sua santa mãe, Sabedoria, tomou de seus corpos e, ungindo-os com bálsamo, deu-lhes sepultura de honra a três milhas de Roma. Ela, por sua vez, no quarto dia, após a oração sacra, enviou também seu espírito ao céu.

Vamos transcrever apenas o trecho da peça que traz a lição de Matemática. Trata-se de um diálogo entre Sabedoria e o imperador Adriano:

Adriano: Diz, que vieste fazer entre nós?

Sabedoria: Nenhuma outra coisa a não ser conhecer a doutrina da verdade para o aprendizado mais pleno da fé que combateis e para consagrar minhas filhas a Cristo.

Adriano: Diz os nomes delas.

Sabedoria: A primeira se chama Fé; a segunda, Esperança; a terceira, Caridade.

Adriano: Quantos anos têm?

Sabedoria: (sussurrando) Agrada-vos, ó filhas, que perturbe com problema aritmético a este tolo?

Fé: Claro, mamãe. Porque nós também ouviremos de bom grado.

Sabedoria: Ó Imperador, se tu perguntas a idade das meninas: Caridade tem por idade um número deficiente que é parmente par; Esperança, também um número deficiente, mas parmente ímpar; e Fé, um número excedente, mas imparmente par.

Adriano: Tal resposta me deixou na mesma: não sei que números são!

Sabedoria: Não admira, pois, tal como respondi, podem ser diversos números e não uma única resposta.

Adriano: Explica de modo mais claro, senão não entendo.

Sabedoria: Caridade já completou 2 olimpíadas; Esperança, 2 lustros; Fé, 3 olimpíadas.

Adriano: E por que o número 8, que é 2 olimpíadas, e o 10, que é 2 lustros, são números deficientes? E por que o 12 que completa 3 olimpíadas se diz número excedente?

Sabedoria: Porque todo número cuja soma de suas partes (isto é, seu divisores) dá menor que esse número chama-se deficiente, como é o caso do 8. Pois os divisores de 8 são: sua metade – 4, sua quarta parte – 2, e sua oitava parte – 1; que somados dão 7. Assim também o 10, cuja metade é 5; sua quinta parte é 2; e sua décima parte, 1. A soma das partes do 10 é, portanto, 8, que é menor que 10. Já o contrário se diz número excedente, como é o caso do 12. Pois sua metade é 6; sua terça parte, 4; a quarta parte, 3; a sexta parte, 2; e a duodécima parte, 1. Somadas as partes dão 16.

Quando, porém o número não é maior nem menor que a soma de suas diversas partes, então esse número é chamado número perfeito.

É o caso do 6, cujas partes – 3, 2 e 1 – somadas dão o próprio 6. Do mesmo modo, o 28, 496 e 8128 também são chamados números perfeitos.

Adriano: E quanto aos outros números?

Sabedoria: São todos excedentes ou deficientes.

Adriano: E o que é um número parmente par?

Sabedoria: É o que se pode dividir em duas partes iguais e essas partes em duas iguais, e assim por diante até que não se possa mais dividir por 2 porque se atingiu o 1 indivisível. 8 e 16, por exemplo, e todos que se obtenham a partir da multiplicação por 2 são parmente pares.

Adriano: E o que é parmente ímpar?

Sabedoria: É o que se pode dividir em partes iguais, mas essas partes já não admitem divisão (por 2). É o caso do 10 e de todos os que se obtêm multiplicando um número ímpar por 2. Difere, pois, do tipo de número anterior, porque, naquele caso, o termo menor da divisão é também divisível; neste, só o termo maior é apto para a divisão. No caso anterior, tanto a denominação como a quantidade são parmente pares; já aqui, se a denominação for par, a quantidade será ímpar; se quantidade for par, a denominação será ímpar.

Adriano: Não sei o que é isto de denominação e quantidade.

Sabedoria: Quando os números estão em “boa ordem”, o primeiro se diz menor e o último, maior. Quando, porém, se trata da divisão, denominação é quantas vezes o número se der. Já o que constitui cada parte, é o que chamamos quantidade.

Adriano: E o que é imparmente par?

Sabedoria: É o que – tal como o parmente par – pode ser dividido não só uma vez, mas duas e, por vezes, até mais. No entanto, atinge a indivisibilidade (por 2) sem chegar ao 1.

Adriano: Oh! Que minuciosa e complicada questão surgiu a partir da idade destas menininhas!

Sabedoria: Nisto deve-se louvar a supereminente sabedoria do Criador e a Ciência admirável do Artífice do mundo: pois não só no princípio criou o mundo do nada, dispondo tudo com número, peso e medida; como também nos deu a capacidade de poder dispor de admirável conhecimento das artes liberais até mesmo sobre o suceder-se do tempo e das idades dos homens.

Observem que os números parmente pares são as nossas potências de 2, os parmente ímpares são aqueles que são o dobro de um ímpar; os imparmente pares são os produtos de um ímpar por um parmente par. Denominação e quantidade são os atuais quociente e divisor.

Uma fala de Sabedoria que também chama atenção é sua afirmativa de que todos os números, além de 6, 28, 496 e 8128, são excedentes ou deficientes.