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sábado, 24 de junho de 2017

Números perfeitos ou imperfeitos



Um número natural não nulo, a partir de duas condições pode ser classificado, matematicamente, em perfeitos ou imperfeitos.
NÚMEROS PERFEITOS - um número natural chama-se perfeito, se somente se, a soma de seus divisores naturais próprio for igual a ele. Divisores próprios de um número positivo n são todos os divisores inteiros positivos de n exceto o próprio n. 
  •  Um número natural n, n>1, é dito perfeito se a soma de seus divisores próprios é igual a ele.
NÚMEROS IMPERFEITOS – um número natural pode ser denominado imperfeito se a soma de seus divisores próprios não for igual a ele, ou seja, S(n) ≠2n.
Os números naturais não nulos podem ser classificados, matematicamente, em deficientes ou excedentes.
  • Um número natural n, n>1, é dito deficiente se a soma de seus divisores próprios é inferior a ele. 
  • Um número natural n, n>1, é dito excedente se a soma de seus divisores próprios é superior a ele.
Portanto, ao compararmos um número natural n com a soma de seus divisores, S(n), podemos ter três situações distintas e excludentes: 
  • n = S(n): o número n é perfeito;
  • n < S(n): o número n é excedente;
  • n > S(n): o número n é deficiente.
Por exemplo:
  • 6 é perfeito, já que S(6) = 1+2+3 = 6;
  • 8 é deficiente, já que S(8) = 1+2+4 < 8;
  • 12 é excedente, já que s(12) = 1+2+3+4+6 > 12.

quinta-feira, 22 de junho de 2017

Sucessor e Antecessor

     Incluindo o zero, todo numero natural tem um sucessor; desse modo, dizemos que a sequência dos números naturais é infinita. Para determinar o sucessor de um numero natural, basta adicionar 1 ao  termo. Observe:
  • O sucessor 15 é 16, pois, ( 15 + 1 = 16 ) 
      Portanto, dois números naturais são ditos consecutivos quando um é sucessor do outro. De modo geral, se a é um número natural, a + 1 é o seu sucessor
      Com exceção do zero todo número natural tem um antecessor. E para determinar o antecessor de um numero natural qualquer, basta subtrair 1desse termo. Observe:
  • O antecessor de 15 é 14, pois ( 15 – 1 = 14 ). 
       Assim, dois números naturais são ditos consecutivos quando um é antecessor do outro. de modo geral, se a é um numero natural e a – 1 é o seu antecessor, para a ≠ 0.
Dois números inteiros são ditos consecutivos quando um é sucessor do outro. De modo geral, se a é um número inteiro, a + 1 é o seu sucessor e a – 1 é o seu antecessor. Os números (a – 1) e a são consecutivos, assim como os números a e (a + 1).

Leia mais: http://matematicaemacao.webnode.com.br/sucessor-e-antecessor-/

Dois números inteiros são ditos consecutivos quando um é sucessor do outro. De modo geral, se a é um número inteiro, a + 1 é o seu sucessor e a – 1 é o seu antecessor. Os números (a – 1) e a são consecutivos, assim como os números a e (a + 1).

Leia mais: http://matematicaemacao.webnode.com.br/sucessor-e-antecessor-/

Dois números inteiros são ditos consecutivos quando um é sucessor do outro. De modo geral, se a é um número inteiro, a + 1 é o seu sucessor e a – 1 é o seu antecessor. Os números (a – 1) e a são consecutivos, assim como os números a e (a + 1).

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ATIVIDADE
Dois números inteiros são ditos consecutivos quando um é sucessor do outro. De modo geral, se a é um número inteiro, a + 1 é o seu sucessor e a – 1 é o seu antecessor. Os números (a – 1) e a são consecutivos, assim como os números a e (a + 1).

Leia mais: http://matematicaemacao.webnode.com.br/sucessor-e-antecessor-/

quinta-feira, 15 de junho de 2017

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS




         No nosso cotidiano, sempre nos deparamos com a necessidade de fazer contagens. E mesmo que de forma inconsciente, estamos sempre contando objetos, agrupando elementos, etc. Os números que usamos para expressar essas contagens e agrupamento são chamados de números naturais e são representados pela letra N.
          Para representar o conjunto dos números naturais utilizando apenas dez símbolos (os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 e 0), que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. Com eles, somos capazes de representar qualquer número sendo o menor deles o zero. O conjunto dos números naturais é natural é:
        Como podemos observar o conjunto dos números naturais é infinito, começa pelo número zero e acrescenta sempre uma unidade a direita, por isso, usamos reticências.
        O conjunto dos números naturais pode ser representado geometricamente por meio de uma reta numérica.

       Ao representar os números naturais na reta, estaremos construindo outras relações importantes a respeito dos números. Por exemplo: qual o número que  vem imediatamente antes de ...? Qual o número que vem depois de...? Observe que a reta numérica ajuda a visualizar melhor a ordenação dos números naturais.


O número zero sob a reta corresponde a um ponto inicial da reta ao qual denominaremos de origem. A partir da origem, os números serão representados por intervalos (unidade de medida) e terão uma direção (da esquerda para a direita), em ordem crescente. Reafirmando a tese de que todo número natural tem um sucessor e que portanto é infinito.
  

domingo, 4 de junho de 2017

LINHA DO TEMPO - EVOLUÇÃO DOS NÚMEROS



A história retrata o uso primitivo de contagem, através de desenhos grafados em cavernas e vestígios deixados pelos povos pré-histórico, porem, ninguém sabe dizer ao certo quando foram inventados os primeiros registros numéricos.

O que se pode afirmar com certeza, é que fatores externos como: o desenvolvimento da civilização e consequentemente o crescimento dos rebanhos, tornou-se necessário efetuar contagens cada vez mais extensas, o uso de pedras, gravetos, e outros instrumentos que usava para registrar a quantidades de rebanhos e de objetos que possuíam ficou ultrapassado. A ideia de associar uma pedra para cada ovelha de seu rebanho permitia ao pastor verificar se seu rebanho tinha sofrido alguma baixa ou aumentado. Com o rebanho cada vez maior, essa tarefa diária foi ficando mais difícil de ser executada. Daí então se sentiu a necessidade de trocar a exaustiva tarefa diária de contagem por um método mais confiável e mais prático. A partir desse momento as civilizações criaram alguma forma de linguagem escrita através de símbolos para expressarem a contagem e operaram com eles. Daí surgiu os números.

O esquema acima mostra as principais mudanças ocorridas nos símbolos numéricos, ao longo do tempo.  
4.000 a.C - Sumérios - Os sumérios desenvolveram sua civilização na região sul da Mesopotâmia, entre os rios Eufrates e Tigre (área integrante do Crescente Fértil). Em meados derivado método das “pedras contas”. O sistema era representado da seguinte forma: uma unidade simples por um pequeno cone, uma dezena por uma bolinha, sessenta unidades por um cone grande, o número 600  por um cone perfurado, 3.600  por uma esfera, o número 36.000 por uma esfera perfurada. 
3.400 a. C - Egípcios  - O sistema de numerais egípcios foi um sistema de numeração usado no antigo Egito. Era um sistema de numeração que não se define para base alguma pois não é posicional e era escrito tanto em hieróglifos como em hierático. Os hieróglifos egípcios são todos tirados da fauna de flora do Nilo e é apenas produto da civilização egípcia. Desde seu surgimento a numeração egípcia permite a representação dos números além de um milhão.   
2.000 a. C. - Babilônico -  numeração dos matemáticos e astrônomos da Babilônia. Foi uma das mais admiráveis da antiguidade. Ela era de fato posicional fundada na base sexagesimal.Este sistema utiliza somente dois algarismos: um “cravo” vertical representando a unidade e uma “asna” associada ao número dez.
SÉCULO. IV d. C. - Maia - O sistema de numeração maia adotado pela civilização pré-colombiana dos Maias é um sistema de numeração vigesimal, ou seja, tem base vinte. A origem desta base de contagem é o número de dedos somando os dedos das mãos e o dos pés. Para representar os números, se utilizavam da combinação de três símbolos: um ponto, uma barra horizontal e uma concha; onde o ponto = 1 unidade, a barra = 5 unidades e a concha=0.
SÉC. V a XVIII d. C. -  Romano - Os romanos representavam quantidades usando as próprias letras de seu alfabeto,ao todo era usado sete letra maiúsculas no qual cada uma representava determinada quantidade: I = 1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500 e M=1000. As quantidades eram representadas colocando-se os símbolos uns ao lado dos outros, conforme a seguinte regra: 
Os símbolos iguais juntos, até três , significava soma de valores, por exemplo: II= 1+1=2;
 Dois símbolos diferentes juntos, com o número menor aparecendo antes do maior, significava subtração de valores: IV = 5-4=3 
300 a. C. até hoje - INDO- ARÁBICOS - Tratava-se de um sistema posicional decimal. Posicional porque um mesmo símbolo representava valores diferentes dependendo da posição ocupada, e decimal porque era utilizado um agrupamento de dez símbolos. Esse sistema foi criado pelos hindus, mas os árabes foram responsáveis por sua divulgação, por isso esse sistema de numeração ficou conhecido como sistema de numeração indo-arábico. Os dez símbolos, utilizados para representar os números, denominam-se algarismos indo-arábicos. São eles: 0,12,3,4,5,6,7,8 e 9. 
Da contagem com pedrinha, gravetos, marcas em ossos de animais, os sistemas  numéricos evoluíram juntamente com as civilizações ao longo da história até chegar ao formato que conhecemos hoje. A historia mostra que não foi uma mudança rápida, mas cada fase permitiu os povos daquela época grandes avanços na forma de representação numérica e até hoje nos beneficiamos das descobertas que estes avanços proporcionaram, como formulas e equações numéricas datadas antes de Cristo.